MODÜLER ARİTMATİK, MODÜLER ARİTMATİĞİN ÖZELLİKLERİ

Yeni Toplama İşlemi:

 

Örnek: Sabah saat 8’de evden çıkan bir öğrenci 7 saat  sonra tekrar eve dönüyor. Öğrenci eve döndüğünde saatin kaçı gösterdiğini bulalım.

Çözüm:    8 + 7 = 15

Saat üzerinde 15 sayısı yoktur. Saat üzerinde 1’den 12’ye kadar olduğundan, 15 sayısını 12 sayısına böleriz. Kalan sorumuzun cevabıdır. 12 sayısına da saat aritmetiğinin modülü denir.

8 Å 7 º 3 (mod 12) biçiminde yazarız.

 

Yeni Çarpma İşlemi:

 

Yeni çarpma işleminde de verilen sayılar çarpılır. Çarpım modüle eşit veya modülden büyükse, modüle böleriz ve kalanı sonuç olarak alırız.

 

Örnek: 5 Ä 8 º x (mod 8) işlemindeki x sayısını bulalım.

Çözüm: 5 . 8 = 40 ve 40’ın 7’ye bölümünden kalan 5 olduğundan;

 5 Ä 8 º 5 (mod 7) dir.  X = 5 tir.

 

Kalan bulmak:

 

Örnek: 12¹²⁴ sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

 

Çözüm: 12124 º x          (mod 5)

       12 º 2                (mod 5)

      12² º 4                (mod 5)

      (12²)² º 4²           (mod 5)

      (12⁴)³¹ º 1³¹        (mod 5)

       12¹²⁴ º 1          (mod 5)

                ¯

              kalan

 

 

Pratik Kalan Bulmak:

 

·    Tabanın, verilen modüle bölümünden kalan sıfır ise sonuç sıfırdır.

Örnek: 21⁶⁵ ‘in 3’e bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm: 21 sayısının 3 ile bölümünden kalan sıfır olduğundan sonuç sıfırdır. Yani 21¹⁵ º 0 (mod 3)

 

·    Tabanın verilen modüle bölümünden kalan 1 ise sonuç 1 dir.

Örnek: 5⁷² º x (mod 4) ifadesindeki x ’i bulalım.

Çözüm: 5 sayısının  4 ile bölümünden kalan 1 olduğundan sonuç 1 dir. Yani 5⁷² º 1 (mod 4)

 

 

 

İRRASYONEL SAYILAR

İrrasyonel Sayılar:

 

·    Her rasyonel sayının devirli bir ondalık açılımı olduğunu ve sayı ekseninde belirli  bir yerinin olduğunu biliyorsunuz. Örneğin;

2 ₌ 0,4

      5

·    Ondalık açılımı devirli olmayan bir çok sayı vardır. Bu sayıların rasyonel karşılığı yoktur. Örneğin;

      p = 3,1415926...

·    Karesi 2’ye eşit olan bir rasyonel sayı bulamayız. Bu sayıyı Ö2 şeklinde gösteririz.

1² = 1

 

Bu işleme devam edersek karesi 2’yi veren bir rasyonel sayının olmadığını görürüz.

O halde Ö2 sayısı sayı ekseninde 1 ile 2 arasındaki bir noktaya karşılık gelir.

1 < Ö2 < 2

 

Ö2  gibi rasyonel sayı karşılığı olmadığı halde sayı ekseninde bir görüntü noktası olan sayılara İRRASYONEL SAYILAR denir.

İrrasyonel sayılar, I ile gösterilir.

 

·    Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi Reel Sayılar kümesini verir. Reel sayılar R ile gösterilir.

Q È I = R

 

I Ì R ise

N Ì Z Ì Q Ì R

 

KÖKLÜ SAYILAR:

 

A bir reel sayı ve m, 1’den büyük bir tamsayı ^mÖa sayısına a sayısının m inci kuvvetten kökü denir.

m sayısına da kökün derecesi denir.

 

·    M pozitif tek tamsayı ise ^mÖa sayısı bir reel sayıdır.

³Ö5 reel sayıdır.

·    m pozitif çift tamsayı ise ^mÖa sayısı bir reel sayı değildir.

Ö5 reel sayıdır.

 

Not: Ö-1 sayısı reel sayı değildir. Çünkü hiç bir reel sayı ( - ) değerde olamaz.

 

 

Karekök İçindeki İfadenin Kök Dışına Çıkarılması:

 

Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler, 2 veya 2’nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök dışında çıkarılabilirler.

Öa^2m = a^m

Öa² . b²  = a . b

 

Örnek: Ö4 = Ö2 = 2^2/2 = 2

 

 

Kareköklü bir sayıyı aÖb şeklinde yazmak:

 

Örnek: Ö32 = Ö16.2 = Ö16 . Ö2 = 4Ö2

 

Rasyonel Sayıların Karekökü:

 

Örnek: _Ö16 _{= Ö}4² ₌  4 

       121               11²     11

 

Uyarı: Tam sayılı olan kesirler birleşik kesirlere çevrilerek,pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır.

 

Ondalık Sayıların Karekökü:

 

Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabilir.

 

Örnek:  Ö0,04 sayısının eşitini bulalım. bilgiyelpazesi.net

 

Çözüm: Ö0,04 ₌ Ö4  ₌ 2 ₌ 0,2

                 100  10

 

 

Karekök dışındaki çarpanın kök içine alınması:

 

Kareköklü sayının katsayısının kök içine almak için katsayısının karesini kök içindeki sayı ile çarpar, kök içine yazarız.

                                           aÖb = Öa² .b

Örnek: 2Ö3 = Ö2² . 3 = Ö4 . 3 = Ö12

 

 

Toplama ve Çıkarma:

 

Kareköklerin içindeki sayılar aynı ise katsayılar içine yazılır. Mümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır.

 

Öa . Öb = Öa .b  ve    Öa . Öa = Öa² = a

 

Örnek:  Ö5 . Ö3 = Ö5 . 3 = Ö15

 

Kareköklü sayının n. kuvveti kök içindeki sayının n. kuvvetidir.

                           (Öa)ⁿ = Öaⁿ

 

Örnek: (Ö7)² = Ö7² = 7

 

Bölme:

 

Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır. Sadeleştirmeler yapılıp mümkünse kök dışına çıkarılır.

                           Öa = _Ö a

                           Öb        b

                          

Ö32 _{= Ö} 32 = Ö8 = 2Ö2

Ö4          4

 

Paydayı Rasyonel Yapmak (Kökten Kurtarmak):

 

Paydayı kökten kurtarmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız.

 

·    Öa nın eşleniği Öa ve Öa . Öa = a dır.

·    Öa + Öb nin eşleniği Öa - Öb ve (Öa + Öb) . (Öa - Öb) = a - b

 

1. Paydada Öa varsa:

Pay ve paydayı Öa ile çarparız.

 

Örnek: 1 ₌ 1 . Ö2 ₌ Ö2

    Ö2   Ö2 . Ö2     2

 

 

2. Paydada Öa + Öb varsa:

Pay ve paydayı Öa - Öb ile çarparız.

 

Örnek:    5      ₌ 5 . (2 - Ö3)       .

    2+Ö3                  (2+Ö3) . (2 - Ö3)

 

₌ 5 . (2- Ö3)

    2² – (Ö3)²

 

₌ 10 - 5Ö3 ₌ 10 - 5Ö3

      4-3